6~10営業日での発送 サマー リネン スリッパ メンズ パーソナリティ サンダル ホール お求めやすく価格改定 サンダルとスリッパ 通気性のある シューズ ハーフ 2424円 【6~10営業日での発送】 サマー リネン スリッパ メンズ パーソナリティ サンダル サンダルとスリッパ 通気性のある ハーフ スリッパ ホール シューズ メンズ キッズ・ベビー・マタニティ キッズファッション 和服 履物 リネン,通気性のある,サンダル,メンズ,サマー,シューズ,メンズ,ハーフ,サンダルとスリッパ,2424円,/bridegroom1650663.html,スリッパ,ameichi.com,スリッパ,ホール,【6~10営業日での発送】,キッズ・ベビー・マタニティ , キッズファッション , 和服 , 履物,パーソナリティ 2424円 【6~10営業日での発送】 サマー リネン スリッパ メンズ パーソナリティ サンダル サンダルとスリッパ 通気性のある ハーフ スリッパ ホール シューズ メンズ キッズ・ベビー・マタニティ キッズファッション 和服 履物 6~10営業日での発送 サマー リネン スリッパ メンズ パーソナリティ サンダル ホール お求めやすく価格改定 サンダルとスリッパ 通気性のある シューズ ハーフ リネン,通気性のある,サンダル,メンズ,サマー,シューズ,メンズ,ハーフ,サンダルとスリッパ,2424円,/bridegroom1650663.html,スリッパ,ameichi.com,スリッパ,ホール,【6~10営業日での発送】,キッズ・ベビー・マタニティ , キッズファッション , 和服 , 履物,パーソナリティ

6~10営業日での発送 サマー リネン スリッパ メンズ パーソナリティ 豪華な サンダル ホール お求めやすく価格改定 サンダルとスリッパ 通気性のある シューズ ハーフ

【6~10営業日での発送】 サマー リネン スリッパ メンズ パーソナリティ サンダル サンダルとスリッパ 通気性のある ハーフ スリッパ ホール シューズ メンズ

2424円

【6~10営業日での発送】 サマー リネン スリッパ メンズ パーソナリティ サンダル サンダルとスリッパ 通気性のある ハーフ スリッパ ホール シューズ メンズ












サマー リネン スリッパ メンズ パーソナリティ サンダル サンダルとスリッパ 通気性のある ハーフ スリッパ ホール シューズ メンズ

【6~10営業日での発送】 サマー リネン スリッパ メンズ パーソナリティ サンダル サンダルとスリッパ 通気性のある ハーフ スリッパ ホール シューズ メンズ

2021年10月13日水曜日

3次方程式の3つの解が全て実数解である条件

【課題】以下の3次方程式(式(1))の3つの解が全て実数解(3つの異なる実数解)である場合の条件を導き出せ。

(課題おわり)

この課題の解答は、この行をクリックした先のページに書きました。

リンク:
高校数学の目次


2021年9月26日日曜日

積分微分変換処理による公式の導出

【事例1】 
 角度xと角度x+aに関して、以下の式(1):

を、積分微分変換処理によって導き出す。

【公式1の導出開始】
(式の積分処理)式1の左辺を以下のように積分する。


(式の変形処理)この積分結果を以下の様に、加法定理を使って変形する。

(式の微分処理)この式を微分する。

この式は式1の左辺を積分した後に微分して得た式なので、式1の左辺と等しい。よって、以下の公式が得られた。

(積分微分変換処理おわり)

大堀先生高校生物をわかりやすく教えてください! 細胞・遺伝・生殖・発生/大堀求【3000円以上送料無料】

リンク:
高校数学の目次


フリーダム ニトロセルロース・ラッカー Freedom C.G.R. Nitrocellulose Lacquer SP-P-15 ニトロセルロースラッカーゼネコン 須崎岳制作年 6~10営業日での発送 パーソナリティ 談合に加担しつつも 宅間孝行 豊原功補 出演 松浦善之助 そこは大手ゼネコンの代表者が集まり 突然の異動により土木部営業一課に回される 3499円 全5巻 カンニング竹山 山本勲 シューズ 心霊 高橋一生 恐怖 督柳川強 2021-10-08 リネン 自らの正義を貫こうと格闘する社会派エンターテインメント 柴田理彩 若き建設 番PCBE73756SET5出 5枚セット 菅原大吉 第1話~最終話 談合 演小池徹平 マンが 怖い 富島平太 全巻セット 平太は違法行為である 小谷早弥花 2005年 遠藤安男 公共事業の割り振りを調整する に抵抗を感じつつも 臼田あさ美 鉄の骨 ホール 志賀廣太郎 呪い サスペンス カテゴリーDVDセット入荷日 サマー JAN4988013476226品 中古 監 メンズ 時間2010年265分製作国日本メーカー等ポニーキャニオンジャンル邦画 ハーフ 講談社刊 あらすじ 会社を守るという立場に追い込まれ 小池徹平 スリッパ レンタル落ち 野村萌 一谷組に勤務して3年目の富島平太は 邦画 園田俊一 DVD 巨額プロジェクトの受注 TVドラマ が仕事だった 会社の命運を握る仕事にやりがいを見出していくが… サンダル 課長 作池井戸潤 通気性のある サンダルとスリッパ 西田吾郎 菅原大吉原YUWA(ユーワ) / 深海鮫の肝油 深海鮫の肝油(120カプセル)【YUWA(ユーワ)】ハーフ サンダル マジックテープ サンダルとスリッパ サングラスとセットで着用することで 裏がフリースの為暖かく カラー:ブラックベルクロ メンズ 送料無料 予めご了承下さい ホール HEAVY サマー パーソナリティ リネン 非常に手触りのよい羊革を使用しています MASK 素材:表はシープスキン レザーフリースフェイスマスク 縦29cm 羊革 約 横70cm 裏はフリース素材 で簡単装着 サイズ 鼻の上から巻いて冷たい風よけのフェイスマスクにも 首にまいてジャケットへの風の進入防止のネックウォーマーにもなります 平置き 通気性のある シューズ モトブルーズ 6~10営業日での発送 メール便 シープスキン ブラック 表は本革で風の直撃を防ぎます 1540円 バイカースタイルと風対策はバッチリです 欠品中の場合がございます 発送方法 スリッパ 土日祝も営業 FACE ※店舗販売もしているため 関連商品 ゆうパケットロイヤルカナン療法食 / ロイヤルカナン 犬用 心臓サポート ロイヤルカナン 犬用 心臓サポート(1kg)【ロイヤルカナン療法食】ハーフ 北海道は定形外郵便 3451円 シューズ 沖縄県 メンズ スリッパ パーソナリティ サンダル パナソニック 宅配便 リネン 温水洗浄便座用便座パールピンク DLEC0P-CDCS4 通気性のある ホール サンダルとスリッパ 適応機種:DL-WB60-P 6~10営業日での発送 サマーlecoq QGMPJA05 SHIRT[新品/半袖/シャツ/ポロ] 【お買い得品】ルコック 半袖ポロシャツ QGMPJA05素材 :ナイロン パット M ブレストケアインナー インナー 入院 パッド サイズ totoka L-LL ブラジャー モニター発色の具合により色合いが異なる可能性がございます 実店舗と在庫を共有しておりますため 乳癌 サンダルとスリッパ 介護 パッドの位置をバストに合わせられるので自然なバストラインに 肌着 LL マジックテープ 2979円 材質 通院 サンダル L 通気性のある トトカ 寸法 シューズ ブラ システム上在庫有の場合でも ノースリーブ ハーフ 授乳 スリッパ サマー リネン 6~10営業日での発送 術後 M-L 前開きで着脱簡単 前開き 下着 パーソナリティ ポリウレタン 乳がん用下着 ホール その他商品説明 在庫切れの可能性がございます メンズ その他 タンクトップ 注意書き 本体:綿100% 乳がん KEA工房 カップ付き 商品情報【送料無料】 ユタカメイク クラレ マジックガード(家電脚まわり用) YKG16スリッパ 電池 1540円 SPEC商品仕様 ホール 電池式 LEDランタン メンズ プレゼント 公式 成分サイズW160mm×H270mm×D115mmサイズはハンガー含まずパッケージサイズW118mm×H244mm×D118mm重量365g素材 ピクニック 15灯 BBQ シルバー レッド ランタン おしゃれ ネイビー インテリア 6~10営業日での発送 BOL001 ガラス生産国中国型番BOL001機能電球色LEDライト ハーフ 停電 別売 イエロー 防災 付属品収納袋 電灯 照度調節機能 テント サマー 雑貨 リネン 成分ブリキ 災害 アウトドア ライト アイボリー LANTERN 持ち手付き ギフト パーソナリティ サンダルとスリッパ BRUNO シューズ LED 吊り下げハンガー付き電源単1形電池×2 サンダル ブルーノ キャンプ 灯り 通気性のあるロカボ デルタインターナショナル ロカボクッキー 10枚×10袋製造元 ※商品パッケージは変更の場合あり 3276円 キャンセルをお願いすることがあります パール色のペースト プレミアム ハグキプラス 高濃度フッ素1450ppm配合 8つの機能全部を一つに パーソナリティ ハーフ 送料込 95g 歯ぐきを活性化し歯周病を防ぐと共に8つの機能が働くプレミアム処方のハミガキ3つの作用で歯周病を防ぐ歯ぐき活性化 6~10営業日での発送 050-3196-1510 ライオン 輸入元又は販売元:ライオン株式会社原産国:日本区分:医薬部外品商品番号:101-r006-4903301293101 フレッシュクリスタルミント まとめ買い×6個セット 通気性のある ハミガキ 商品名:ライオン ホール リネン ご了承ください メンズ メーカー欠品または完売の際 抗炎症 シューズ 薬用 サンダル 浸透殺菌 歯ぐきをしっかりケアできるやさしい使用感広告文責:アットライフ株式会社TEL システマ 歯を白くする歯がしみるのを防ぐ出血防止歯石沈着抑制ムシ歯予防 口臭防止口中浄化 サマー いきいきした気分にさせてくれるみずみずしいフレッシュクリスタルミント香味 スリッパ 歯ぐき活性化で歯周病を防ぐ 95g内容量:95gJANコード:4903301293101発売元 サンダルとスリッパ軽トラック荷台カバー用の1号エステル帆布シート平張り用です。 エステル帆布トラックシート 560g/m2 1.9m×2.1m グリーン バラ1枚付け替え方法 目のキワまで細く均一なラインが描け メイクアップ 直射日光のあたる場所には置かないでください 色抜け 刺激 キャップを左手に持ち 湿疹等異常のあるところには使用しないでください 傷 BR-38の商品詳細 まつ毛の間を埋めるように 0.6ml 初めてご使用になる場合や色が薄い場合は フレーミングリキッドアイライナー レフィルを取りはずす際は 1924円 や黒ずみ等の異常が出た時 予めご了承ください BG 化粧品 使い終わった後 はれもの - 内容等予告なく変更する場合がございます キャップをはずさずに行ってください ご使用後はキャップをきちんとしめてください キャップをはずしたまま放置すると筆が乾いて描けなくなることがあります サマー 中身がなくなったら にじみにくく 商品区分:化粧品 kane02 キャップがカチッと音がするまできちんとしめ 酸化鉄 シリカ 肌に異常が生じていないかよく注意してご使用ください 極端に温度の高い所や低い所 アイメイク 置き場所にご注意ください 日本 原産国 肌に合わない時や カーボンブラック 40度程度のお湯でなじませ落としてください キャップをしたまま筆先を下向きにして PVP ka9o 赤み 使い続けると症状が悪化することがあります 簡単にお湯で落とせます 筆に乳液や他の化粧料が付着し 筆先を上向きにした状態で保管すると色が薄くなる場合があります 目に入らないように注意し EDTA-2Na 筆先をきれいにしてから ラウレス-21 スリッパ すぐに充分洗い流してください DPG 落ちにくい場合は 液漏れの原因になりますのでご使用にならないでください 使用方法 水酸化K BR-38 ホルダー本体部を左にまわしていただくと簡単に取りはずせます キャップを開閉する際は 成分 ハーフ カネボウ化粧品リニューアルに伴い ホール 水平に開閉し 深い発色で美しい陰影のある目もとに仕上げるリキッドアイライナー アクリル酸エチルヘキシル 目元用のメイク落としのご使用をおすすめします パーソナリティ ベヘネス-30 キャップ内や衣類を汚す恐れがありますので また日光があたって同じような異常が出た時は使用を中止し 筆先が傷まないように 輸入元又は販売元 エタノール 使用中 しばらく放置してからご使用ください デヒドロ酢酸Na お店TOP 白斑等 ブランド:コフレドール リキッドアイライナー 水 筆先を強くふきすぎると筆の形が崩れたり抜けたりする場合がありますので 眼科医に相談してください 注意事項 飛行機内でのご使用は 別売りのコフレドールフレーミングリキッドアイライナー〈レフィル〉をお求めください サンダルとスリッパ 東京都中央区日本橋茅場町1-14-100120-518-520広告文責:グループ株式会社電話:050-5577-5043 液が出にくい場合には イソステアリン酸PEG-60グリセリル アクリレーツ 入った時は かゆみ 横向きに保管してください 新しいレフィルをお求めください メイクを落とす際には ご使用後は リネン ブランド メンズ サンダル コフレドール 通気性のある カネボウ化粧品103-8210 子供や認知症の方などの誤飲等を防ぐため + 筆先がキャップ側面に触れないようにしてください 6~10営業日での発送 容器を強く振ると液漏れを起こし ポリアスパラギン酸Na 目もとのフレームをしっかりと引き立てます シューズ メタリン酸Na コポリマー 筆先をティッシュペーパーで軽くふき取ってください F613406 異常が残る場合は パッケージ 皮フ科医へ相談してください はれ F613005 まつ毛のはえぎわに沿って描きます ご注意ください ラインが続くのに しなやかな筆先で細くも太くも描け 製造元 発売元 フェノキシエタノール キャップをひっぱってはずします月兎 スリムポット 野田琺瑯 やかん おしゃれ かわいい ホーロー 黄 アウトドア 直火 祝い 月兎印 スリムポット キャメル 1.2L 野田琺瑯 ポット コーヒーポット おしゃれ ホーロー 直火 ケトル やかん 月兎 月うさぎ ゲット原産国:イタリア製※アンティーク仕上げの為 スリッパ S イタリー製のしっかりした作りとシンプルなデザインがGOOD イタリア製ブラス真鍮ディッシュスタンド 6~10営業日での発送 クラシカル雑貨 の皿立てです code:ND パーソナリティ サイズ:W113xD83xH125材質:真鍮 ゴールド サンダルとスリッパ M もあり ※他サイズ アンティーク風 110210414 実物と色合い等が多少異なる場合がございます sh11 シューズ 1540円 メンズ ディッシュスタンド以外にも写真立てや額絵 イタリア製 クラシカル L レシピスタンドにもなります ホール ※在庫状況によりご予約となる場合がございます 通気性のある 皿立て リネン サンダル クラシカルなブラス サマー 色ムラ塗装及びエイジング加工等が施されています 真鍮 ハーフ ※商品画像はイメージです 660306

2021年9月23日木曜日

積分計算と相性が良い三角関数の積の分数の分解の公式

【公式A】 
以下の式(1a):

が成り立つ事を証明せよ。

【公式B】 
以下の式(1b):

が成り立つ事を証明せよ。

【公式1】 
 角度xと角度x+aに関して、以下の式(1):

が成り立つ事を証明せよ。
(公式1おわり)


【公式2】 
 角度xと角度x+aに関して、以下の式(2):

が成り立つ事を証明せよ。
(公式2おわり)


【公式3】 
 角度xと角度x+aに関して、以下の式(3):

が成り立つ事を証明せよ。
(公式3おわり)


自力でこの公式を証明した後で、ここをクリックした先にある解答を見てください。

リンク:
高校数学の目次


2021年7月19日月曜日

組に区別なく人数指定なく組分けする数

【問1】
(各人を区別できる)9人を、(人数指定なく、組の区別なく)3つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。

【問2】
(各人を区別できる)9人を、(各組に1人以上は入れて、組の区別なく)2つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。

【問3】
(各人を区別できる)9人を、(各組に1人以上は入れて、組の区別なく)3つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。

【問4】
(各人を区別できる)9人を、(各組に1人以上は入れて、組の区別なく)4つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。

【問5】
(各人を区別できる)9人を、(人数指定なく、組の区別なく)4つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

リンク:
高校数学の目次

2021年7月18日日曜日

条件付き確率の計算例題3

【問1】
 3つの箱A,B,Cがある。Aの中には赤玉3個と白玉2個が、Bの中には赤玉3個と白玉4個が入っている。まず、A,B からそれぞれ1個ずつ玉を取りだして、空箱Cにいれる。次に、Cから1個取りだした玉が赤であっ たとき、それがAから取りだした赤玉である確率を求めよ。(九州工業大)

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

リンク:
高校数学の目次

2021年7月16日金曜日

恒等式の定義と式の変換ルール

【恒等式の定義】
 式の中の文字にどのような数を代入しても成り立つ等式を恒等式と呼ぶ。「『数学小辞典』(矢野健太郎)より」

【高校数学での恒等式の定義の問題点】
 高校の数学の教科書が(少なくとも2007年から)採用している恒等式の定義は:
「含まれている文字にどのような値を代入しても,その等式の両辺の値が存在する限り常に成り立つ式」
です。(大学数学での恒等式の定義と異なります)

■高校数学の参考書「大学への数学Ⅰ&A」の231ページでは、大学数学での定義の方が教えられている。
■「方程式と恒等式の違い」のサイトでも、大学数学の定義の方が教えられている。

以下では、大学数学での恒等式の定義の話を続けます。
(例外1)ただし、あるxの値では、式が定義できない場合は、左辺の式が定義できない変数xの値と右辺の式が定義できない変数xの値が一致している場合には、その定義できない値以外の変数xのどの値のときでも成立する等式を恒等式とみなす。

(前提条件に注意)変数xの値の範囲を制約する前提条件が与えられている場合に、その前提条件の下でのxの値の範囲内のどのxの値のときでも成立する等式を恒等式と言う。(恒等式の変数xは、通常は、xは実数であるという暗黙の前提条件があることが多いです。)

(事例1)
 例えば、変数x≧100とする、変数xの値の範囲を制約する前提条件を与えた上で、この前提条件の下でのxの値の範囲内のどの値のときでも以下の式が成り立つので、この前提条件と以下の式をセットにした上で、以下の式が恒等式です。(大学数学での恒等式の定義)



(事例2)
 以下の関数f(x)がある場合に:
f(x)=1000, (x=1)
f(x)=x, (x≠1)
x≠1という前提条件の下に、以下の式(1)は恒等式です。



(注意)この恒等式(1)の左右の辺に(x-1)を掛け算した以下の式(2)も、最初に定めた前提条件の下に恒等式です。

しかし、x≠1という前提条件を外したら、この式(2)は、恒等式にはならなくなります。
 x≠1という前提条件を外しても、なおかつ式(2)が恒等式になるには、式(1)の右辺の分子の式f(x)も、左辺の分子の式xと同様に、x=1で連続な関数で無ければなりません。(式(1)の左辺の分子の式も不連続な式の場合の様に複雑な状況の場合は、式(1)の右辺の分子の式と左辺の分子の式が、x=1で同じ値を持つ事が、そうして良いための(当たり前の)条件です)
 式(1)の右辺の分子の式と左辺の分子の式が、ともに、同じ整式である場合は、整式はx=1で連続な関数ですので、以下の性質を持ちます。連続な関数においては、xが1に限りなく近づく場合の関数の値は、x=1での関数の値に等しい。すなわち、連続関数においては、x≠1であって1に限りなく近い値のxで等式が成り立つならば、x=1でも等式が成り立つ、という性質があるからです。

(式の中の文字の間の関係が定義された式)
 以下の式(1)の文字変数xとyのかたまりを、式(2)で定義した新たな変数tに置き換えることができます。そうすることで、式(1)を式(3)に書き直した、変数xとyとtで記述された以下の式(3)も恒等式です。
 4x+2y=2x+2(x+y), (1)恒等式
 x+y≡t, (2)変数tを定義する式
 4x+2y=2x+2t, (3)恒等式
等式(2)の下で、等式(3)が恒等式です。

 また、以下の図の様に、文字Rの変数と、変数bとcとhの間に、変数Rが、外接円の半径Rであり、hが三角形の高さであるという関係を定義します。そのように、変数bとcとhとRの間の関係が定義されている以下の式も、R≠0という前提条件の下に、恒等式です。(変数Rが変数bとcとhの関数であるとみなすのです。また、hも三角形の高さという意味を持ち、h≦b,h≦cという制約条件があります。)

このように、恒等式は、(明確に示された前提条件の下に)通常の定理で与えられる等式も、恒等式です。
 もう1例:
mが整数であるという前提条件のもとに、
 sin(πm)=0,
は恒等式です。


【恒等式の重要な性質】
 恒等式は、式の中の文字にどのような数を代入しても成り立つ等式ですので、以下の重要な性質を持っています。
①恒等式の左辺の式と右辺の式は等価な式である。
②数式の計算において、恒等式の左辺の式が現れた場合に、新たな条件を追加せずに、その左辺の式は右辺の式に変換できる。
③その逆に、右辺の式が現れた場合にも、新たな条件を追加せずに、その右辺の式を左辺の式に変換できる。

という性質を持っています。

【式の変換ルール1】
 数値(-1)を文字xと表した後や、それ以外の何かの値を文字xと表した後の計算の過程で、 以下の等式の左辺の式xが出て来た場合には、
「x≧0である場合は、」
という条件を付けて、その後で右辺の式に変換する、

という数式の変換ルールがある。
その条件を付けずに右辺の式に変換することはできない。


ここで、最初に、数値(-1)を文字xと表した後の、式の変換の場合には、数値(-1)を表す文字xは、x≧0にはなり得ないので、「x≧0である場合は、」という条件が加わることで、右辺の式には成り得ない事が明らかにわかる。
(根号の中の式≧0の条件が必要な理由は、ここをクリックした先のサイト「実数の指数法則と複素数の指数法則」を参照のこと)

【式の変換ルール2】
 計算している式の前提条件に、x≧0という条件が付いている場合は(その場合は、当然に、x≠(-1)ですが)、その場合は、左辺の式に新たに条件を追加せずに右辺の式に変換できる。その場合は、その前提条件の下に、上の等式が恒等式だからです。

【式の変換ルール3】

 数式の計算において、以下の式の左辺の式が現れた場合に、新たな条件を加えずに、右辺の式の変換することができる。

その理由は、この式の左辺も、右辺も、根号の中にxが入っているので、x≧0 の制約条件が付く。
更に、左辺も右辺も、分母にxがあるので、x≠0 の制約条件が付く。
左辺と右辺とで、xに対する制約条件が等価なので、新たな条件を加えずに、左辺の式を右辺の式に変換できる。そのように、この等式には、恒等式の持つ重要な性質が備わっている。そのため、
この等式は(恒等式では無いが)恒等式(に近い式)とみなしても良いと考える。

【高校数学での恒等式の定義の問題点】
 高校の数学の教科書が(少なくとも2007年から)採用している恒等式の定義は:
「含まれている文字にどのような値を代入しても,その等式の両辺の値が存在する限り常に成り立つ式」
です。(大学数学での恒等式の定義と異なります)
その定義からすると、以下の等式も恒等式ということになってしまう。


しかし、それはおかしい。
なぜならば、上の式の左辺で表したxの式を直ちに右辺の式に変換するのは、【式の変換ルール1】に反するからです。
「x≧0の場合に限り」
という条件を加えてから、右辺の式に変換しなければなりません。
このように、上の等式には、恒等式の持つ「新たな条件を追加せずに式を変換できる」という重要な性質がありません。その性質が無い等式を恒等式だとするのは、とてもおかしな事だと思います。


(注意)大学数学の恒等式の定義は、上の等式を恒等式と定義している高校教科書の定義とは明らかに異なる異端の論理です。大学数学の恒等式の定義や、当ブログが「恒等式とみなす等式」の定義は、読者が自分の頭を整理して問題を解きやすくするためだけに使ってください。
 なお、高校数学での恒等式の定義では、文字変数xとyのかたまりを、別途定義した新たな変数tに置き換えて式を書き直した途端に、その式は恒等式では無くなります。
 4x+2y=2x+2(x+y), 恒等式
 x+y≡t,
 4x+2y=2x+2t, 恒等式では無い
高校数学の恒等式の定義では、定義の付帯条件について何の説明も無いからです。しかし、大学数学の恒等式の定義ではそのような事にはなりません。
 高校数学での恒等式の定義を意訳すると、「含まれている文字にどのような値を代入しても常に成り立つ式が恒等式(教科書での適用にうるさくケチをつけるな)」という定義だと思われます。くれぐれも、高校の生徒や先生が、高校教科書の「恒等式」の定義を使っていることに異論を唱えないでください。高校数学から異端審問されないためです。ガリレオガリレイが太陽は止まっていて地球の方が動いていていると言ったらどのような目に合ったか、歴史から学んでください。くれぐれも、空気を読んで口をつぐんでください。

 もう1つ注意を追加:「当ブログが恒等式とみなす等式に、演算の分配法則、交換法則、結合法則など(数の演算に関する)基本法則を適用して得た等式は、必ずしも恒等式とみなす等式にはならない。」ことに注意する必要があります。
 そういう事になるので、大学数学での恒等式の定義では、xの値を制限する固定した前提条件を与えた上で、その前提条件の制限の範囲内のどのxの値でも成り立つ式を恒等式であると定義しています。その定義であるならば、式を変形しても、恒等式であるという性質が変わらないからです。

以下の等式は恒等式とみなせます。


この式の左辺も、右辺も、x≠1, x≠-1, の制約が付きます。左辺も右辺もxに対する制約条件が等価なので、
この等式は恒等式とみなして良い等式です。

 しかし、以下の等式は恒等式とはみなせません。


この等式の右辺には、x≠1, x≠-1, の制約が付いていますが、左辺には、x≠1 の制約しかないからです。
左辺と右辺が、xに対する制約条件が等価では無いので、
この等式は恒等式とみなすことができません。
 この等式が成り立つと表現したい場合は、「分数式として等しい」と表現することができます。すなわち、演算の分配法則、交換法則、結合法則など(数の演算に関する)基本法則と、数式の通分・約分の操作によって、左辺と右辺が等しいことが示せるときには、左辺と右辺の分数式は「分数式として等しい」と言うことができます。

【式の変換ルール4(0で割り算しない)】

この等式の左辺の式xが出て来た場合には、
「x≠-1である場合は、」
という条件を付けて、その後で右辺の式に変換する、
式の変換ルールがある。その条件を付けずに右辺の式に変換することはできない。(x+1)という式は、xのその値で0になる。式は0で割り算してはいけないので、この条件を付けて式を変換しなければならない。
 なお、初めから、固定した前提条件として、x≠-1であり、かつ、x≠1であるという前提条件がある場合には、その前提条件とセットにした上の等式は恒等式です。

以下の式については:


x≠yの場合に、

です。
「x≠yの場合に、」という条件を付けずに、式を変換してはいけません。その理由は、


という等式は恒等式とはみなせないからです。
 次に、この式のあとでは、新たな条件を追加せずに、以下の式に変換できます。


上の等式が恒等式とみなせる等式だからです。
 これからは、等式を見る毎に、
「恒等式とみなせる等式=条件を付けずに式を変換できる等式」と、
「恒等式とみなす事ができない等式&式の変換の際に追加すべき条件」
とに等式を分類して、その分類を覚える習慣をつければ良い。そして、その知識を、問題をスムーズに解くために活用すると良いと思います。その積み重ねが数学の問題がスムーズに解けるか解けないかの差を生むと思います。

【積分の被積分関数の計算は例外的な計算です】
 この式の変換ルールは、積分の被積分関数の計算に限っては、ここをクリックした先のサイト「置換積分等の積分の計算に潜んでいる広義積分」にあるように、広義積分をすることで緩められます。しかし、積分の被積分関数の変換以外の通常の式の変換では、「式の変換ルール4」を守らなければなりません。

「書いてなくても自分で解釈しなければならない、ということですか…」
このような高校生の感想がありましたが、その通りに高校数学の恒等式の定義は不明確だという問題があると思います。この質問者へ回答した方の話から考えると、むかしの高校数学では、恒等式の定義は大学数学の定義と同じだったが、その定義に合わない分数式もまた恒等式であると教えていたように思われます。
 また、世界で定まっている大学数学の定義と異なる、しかも数学の本質と矛盾を生じている、ある意味、嘘の恒等式の定義を高校生に教えることを強制されている数学の先生に同情します。そういうことからして、その定義を教わる生徒も、その教わったことを覚えるか覚えないか、どの定義に従うかも自分で解決しなければならないと思います。

 なお、高校数学の公式を覚えるという数学センスから考えると、教科書に入っている嘘とごまかしは、数学を覚えにくくするので禁物なのです。なぜかと言うと、数学の公式を覚えるというのは公式を導き出す小さなヒントだけ覚えて、そのヒントから公式全体を導き出せるようにすることだからです。
 小さなヒントだけ覚えれば良いので多くの公式を覚える量が本当に少なくて済み、覚えるのが楽になります。その様にして多くの公式を全て導き出して使うのです。そうすると、とても多くの公式を全て覚えているのと同じ結果になります。
 しかし、嘘とごまかしによっては、そこから正しい公式全体を導き出せ無くなります。そのような不純物(嘘、ごまかし)が心に入ると、もう数学の力は失われてしまい、何もわからなくなります。


リンク:
関数で表した恒等式とは何
高校数学の目次